民生银行80后女行长伪造30亿"假理财"？还原五大

?

Ква?нтова електродина?м?ка (КЕД) ? релятив?стською квантовою теор??ю електромагн?тного поля. По сво?й сут? вона опису? електромагн?тну вза?мод?ю, ? ? першою теор??ю, у як?й досягнуто повного узгодження м?ж квантовою механ?кою та спец?альною теор??ю в?дносност?. КЕД математично опису? вза?мод?ю заряджених частинок через обм?н квантами електромагн?тного поля (фотонами) ? ? квантовим узагальненням класично? електродинам?ки. Один ?з засновник?в КЕД Р?чард Фейнман назвав цю теор?ю ?...дорогоц?нним каменем ф?зики...? позаяк в ?? рамках було зроблено надзвичайно точн? передбачення спостережуваних величин, таких, наприклад, як аномальний магн?тний момент електрона та Лемб?вський зсув енергетичних р?вн?в атома водню. Б?льш (спец?ал?зовано) техн?чно, КЕД може бути описана як теор?я збурень електромагн?тного квантованого вакууму.

?стор?я

Поль Д?рак

Перше формулювання квантово? теор?? вза?мод?? випром?нювання ? матер?? належить Полю Дираку, який у 1920 роц? обчислив коеф?ц??нти спонтанно? ем?с?? атома. Дирак зд?йснив квантування електромагн?тного поля, зобразивши його у вигляд? ансамблю гармон?чних осцилятор?в (фотон?в) ? ув?вши оператори ?х породження ? знищення. Згодом, завдяки доробкам таких учених як Вольфганг Паул?, ?вген В?гнер, Паскуаль Джордан, Вернер Гейзенберг, тощо, та елегантному формулюванню квантово? електродинам?ки Енр?ко Ферм?, ф?зики прийшли до висновку, що в принцип? можливо зд?йснювати обчислення будь-яких процес?в за участю фотон?в ? заряджених частинок. Однак подальш? досл?дження Фел?кса Блоха з Арнольдом Нордсь?ком ? В?ктора Вейскопфа в 1937 ? 1939 роках показали, що так? обчислення були достов?рн? лише для теор?? збурень першого порядку, так як це передбачав Роберт Оппенгеймер. При б?льших порядках виникали величини з безмежно великими значеннями, що робило так? обчислення безглуздими а саму теор?ю внутр?шньо неузгодженою (суперечливою). В?дсутн?сть розв'язку ц??? проблеми в той час привело до виникнення фундаментально? неузгодженост? м?ж спец?альною теор??ю в?дносност? ? квантовою механ?кою. ?

Ганс Бете

Труднощ? ?з теор??ю зросли в к?нц? 1940 року. Удосконалення м?крохвильово? технолог?? зробило можливим значно покращити точн?сть вим?р?в Лемб?вського зсуву спектральних л?н?й атома водню та магн?тного моменту електрона. Експерименти виявили розб?жност?, як? теор?я не могла пояснити. Перша вказ?вка на можливий вих?д ?з становища належить Гансу Бете. В 1947 роц?, п?д час подорож? у потяз? до Скенектад? ?з Нью-Йорка, де Бете мав допов?дь на конференц??, в?н зд?йснив перше нерелятив?стське обчислення зсуву спектральних л?н?й атома водню вим?ряне Лембом ? Резерфордом. Незважаючи на наближений характер обчислень узгодження виявилось чудовим. ?дея обчислень була простою ? полягала в додаванн? до ф?ксованих в експеримент? значень заряду ? маси безмежно великих величин. Завдяки цьому ус? безмежност? що виникали в теор?? скорочувались а к?нцевий результат обчислень був ск?нченним та дуже добре узгоджувався ?з експериментальними значеннями. Ця процедура обчислень була названа перенормуванням.

Р?чард Фейнман (в центр?) ? Роберт Оппенгеймер (справа) в Лос-Аламос?.

?Базуючись на ?де? Бете та основних роботах на цю тему Томонаги, Шв?нгера, Фейнмана ? Дайсона стало нарешт? можливим отримати повн?стю ковар?антне (читай релятив?стське) формулювання, ск?нченне в обчисленнях при будь-якому порядку ряду теор?? збурень квантово? електродинам?ки. Томонага, Шв?нгер ? Фейнман одночасно були удосто?н? в 1965 роц? Нобел?всько? прем?? за роботу в ц?й галуз?. ?х сп?льний внесок разом ?з Дайсоном до ковар?антного кал?брувально-?нвар?антного формулювання квантово? електродинам?ки дозволив зд?йснювати обчислення спостережуваних величин при р?зних порядках теор?? збурень. Фейнман?вський математичний метод, базований на його д?аграмах, спочатку здавався дуже в?дм?нним в?д теоретико-польового операторного п?дходу Шв?нгера ? Томанаги, проте Дайсон п?зн?ше показав що ц? два п?дходи тотожн?. Перенормування, що нада? ф?зичного зм?сту безмежним величинам, як? виникають в теор?? через наявн?сть розб?жних ?нтеграл?в, згодом стало одним з фундаментальних аспект?в квантово? теор?? поля ? вважа?ться критер??м для загально? прийнятност? теор??. ?Хоча перенормування дуже добре працю? на практиц?, Фейнман н?коли не був повн?стю задоволений його математичним об?рунтуванням, нав?ть жарт?вливо називав його "фокус-покус". ? КЕД служить моделлю ? шаблоном для вс?х наступних теор?й квантового поля. Одна з таких наступних теор?й ? квантова хромодинам?ка, започаткована в 1960 роц? ? приведена до завершеного вигляду в 1975 роц? Пол?тзером, Колеманом, Гроссом ? В?льчеком. На основ? формал?зму квантово? електродинам?ки Шелдон ?лешоу, Ст?вен Вайнберг та Абдус Салам незалежно показали, як слабка та електромагн?тна вза?мод?? можуть бути об’?днанн? в одну електрослабку вза?мод?ю.

Фейнман?вське бачення квантово? електродинам?ки

Вступ

В останн? роки свого життя Р?чард Фейнман прочитав сер?ю науково-популярних лекц?й про КЕД для широкого загалу. Ц? лекц?? були записан? ? опубл?кован? п?д назвою ?КЕД: Дивна теор?я св?тла ? матер???. Ключовими компонентами Фейнман?всько? лекц?йно? презентац?? присвячено? КЕД ? три основн? елементарн? д??:

• Фотон руха?ться ?з одн??? точки простору-часу у ?ншу точку простору-часу;
• Електрон руха?ться в?д одн??? точки простору-часу до ?ншо? точки простору-часу;
• Електрон випром?ню? або поглина? фотон у визначен?й точц? простору-часу;

?

Базов? елементи Фейнман?вських д?аграм.

Ц? д?? на фейнман?вських д?аграмах позначено простими символьними рисунками: хвилястою л?н??ю позначено рух фотона, прямою - рух електрона, з’?днаними у вершин? двома прямими ? одн??ю хвилястою л?н?ями позначено випром?нення або поглинання фотона електроном. Не сл?д надавати малюнкам якогось б?льшого значення. Вони не несуть жодно? ?нформац?? про те, як частка потрапля? ?з одн??? точки в ?ншу. Зокрема д?аграми не позначають того, що частинки рухаються по прям?й або крив?й л?н??. Вони також не позначають того, що частинка рухаються з ф?ксованою або зм?нною швидк?стю. Той факт, що фотон прийнято зображати хвилястою л?н??ю не означа?, що в?н якось б?льше схожий на хвилю н?ж електрон. Ц? зображення ? символьними ? позначають лише зазначен? вище д??: фотони ? електрони якось рухаються в?д одн??? точки до ?ншо?, ? електрони якимось чином випром?нюють та поглинають фотони. Теор?я не говорить нам про те, як ц? под?? в?дбуваються, але вона говорить нам про ймов?рн?сть цих под?й. Окр?м зазначених рисунк?в, що зображають вказан? елементарн? д??, Фейнман запровадив також скорочення для числових величин, що позначають ?хн? ймов?рност?. Якщо фотон руха?ться ?з одн??? точки простору-часу А до ?ншо? точки простору-часу Б, то ймов?рн?сть тако? под?? за Фейнманом сл?д позначати як Р(А до Б). Под?бну ймов?рн?сть для руху електрона з С до Д позначено як Е(С до Д). Величину ймов?рност? випром?нювання або поглинання фотона в?н позначив як 'j'. Це пов’язано, однак не зовс?м те саме, що вим?ряний заряд електрона 'e'. КЕД базу?ться на припущенн?, що будь яку складну вза?мод?ю велико? к?лькост? фотон?в ? електрон?в можна представити комб?нац??ю трьох основних елементарних д?й, а ?х ймов?рн?сн? величини дозволять обчислити ?мов?рн?сть складно? вза?мод??. Виявля?ться, що основну ?дею КЕД можна спрощено пояснити в припущенн?, що ймов?рн?сн? величини, згадан? вище, в?дпов?дають нашим повсякденним ймов?рностям. П?зн?ше це пояснення можна скоректувати включенням спец?ально? квантово? математики зг?дно Фейнману.

Основн? правила ймов?рностей, як? будуть використан?, полягають у тому, що: а) якщо под?я може в?дбутися в р?зний спос?б, то ?? ймов?рн?сть дор?вню? сум? ймов?рностей можливих шлях?в ?? реал?зац?? ? б) якщо процес под?ля?ться на низку незалежних п?дпроцес?в, то ймов?рн?сть усього процесу ? добутком ймов?рностей п?дпроцес?в.

Базов? (основн?) конструкц?? (д?аграми)

Припустимо, що ми ма?мо один електрон в певн?й точц? простору-часу (цю точку позначимо м?ткою А) ? один фотон в ?нш?й точц? простору-часу (цю точку позначимо м?ткою B). Якою ? ймов?рн?сть знаходження електрона в деяк?й обран?й точц? простору-часу C, а фотона в деяк?й ?нш?й обран?й точц? простору-часу D? Самим простим способом досягнення ц??? мети для електрона ? безпосередньо перейти в?д А до С (елементарна д?я), а для фотона безпосередньо перейти в?д В до D (?нша елементарна д?я). Зг?дно ?з правилом б) ймов?рн?сть реал?зац?? обох процес?в ? добутком ймов?рностей кожного з цих п?дпроцес?в - Е (А до С) та Р (В до Д). Це проста в?дпов?дь на наше запитання.

Комптон?вське розс?яння.

Однак ? ? ?нш? шляхи для досягнення задано? мети. Скаж?мо електрон може рухатись до точки простору-часу E, де поглине фотон що прийшов ?з точки B; дал? електрон руха?ться до точки простору-часу F, де випром?ню? фотон; п?сля цього новий фотон пряму? до точки D, а електрон до точки C. Ймов?рн?сть такого складного процесу може бути обчислена на основ? ймов?рностей окремих елементарних д?й: трьох елементарних перем?щень електрона, двох елементарних перем?щень фотона ? двох вершин - одна познача? випром?нення фотона, ?нша — поглинання. Зг?дно правила а), ця ймов?рн?сть (для будь яких ф?ксованих позиц?й E та F) ? результатом множення ймов?рностей ус?х перерахованих елементарних д?й. Дал?, користуючись правилом б), ми повинн? просумувати ймов?рност? розрахован? для вс?х можливих позиц?й E та F (на практиц? це не ? елементарно ? передбача? ?нтегрування). Однак ? ? ?нша можлив?сть: електрон руха?ться до точки G, де випром?ню? фотон який руха?ться до D; п?сля цього, перш н?ж потрапити до точки C, електрон руха?ться до точки простору-часу H, де в?н поглина? перший фотон. За аналог??ю до попереднього випадку, ми можемо обчислити сумарну ймов?рн?сть такого процесу. Додавши ймов?рност? цих двох можливих процес?в до нашо? початково? просто? оц?нки, ми отрима?мо б?льш точне значення ймов?рност? для задано? под??. Процес вза?мод?? фотона з електроном, який ми тут розглянули, ма? назву “розс?яння Комптона”. ?сну? неск?нченне число ?нших б?льш складних пром?жних процес?в, в яких все б?льше ? б?льше фотон?в поглина?ться ?/або випром?ню?ться. При цьому кожну ?з цих можливостей можна зобразити за допомогою д?аграм Фейнмана ? знайти для не? ймов?рн?сть. За умови, коли зб?льшення складност? процес?в (зб?льшення к?лькост? складових елементарних процес?в) призводить до зменшення ?х вкладу в сумарну ймов?рн?сть, отримання як завгодно точного результату для сумарно? ймов?рност? ? лише питанням часу ? зусиль. Це ? базовим п?дходом КЕД.

Для обчислення ймов?рност? будь-якого ?нтерактивного процесу м?ж електронами ? фотонами, необх?дно перш за все описати його за допомогою д?аграм Фейнмана, де вс? можлив? способи, в яких цей процес може бути реал?зований, складатимуться ?з трьох основних елемент?в. Кожна д?аграма передбача? зд?йснення деяких розрахунк?в за участю певних правил для знаходження в?дпов?дно? ймов?рност?.

Така наглядна картина опису вза?мод?й св?тла ? матер?? загалом залиша?ться справедливою ? при переход? до квантового формал?зму, однак тут сл?д зробити деяк? концептуальн? зм?ни. Зокрема, всупереч оч?куванням, що мають ?снувати обмеження на рух фотона ? електрона в простор?-час?, в квантов?й електродинам?ц? ?х нема! З точки зору квантово? електродинам?ки ?сну? можлив?сть для електрона в A або фотона в B перейти в будь-яку ?ншу дов?льну точку простору-часу у Всесв?т?. Це включа? також точки, до яких частинкам прийдеться рухатись ?з швидк?стю б?льшою за швидк?сть св?тла або зворотно в час?! (Електрон який руха?ться зворотно в час? можна розглядати як позитрон, що рухаються за часом.)

Ампл?туда ?мов?рност?

Фейнман зам?нив комплексн? числа стр?лками, як? починають р?вном?рно обертатись в момент випром?нення частинки, ? зак?нчують обертатись в момент ?? детектування. Сума ус?х стр?лок в момент детектування представля? сумарну ампл?туду ймов?рност? под??. На ц?й д?аграм? св?тло випром?ню?ться джерелом S, в?дбившись в?д одного ?з сегмент?в дзеркала (блакитний кол?р) потрапля? до детектора P. Для розрахунку ?мов?рност? вс? можлив? шляхи мусять бути врахован?. Граф?к внизу вказу? час, який затратило св?тло на шлях.

Квантова механ?ка вносить сутт?в? зм?ни у розрахунок ймов?рностей под?й, як? в?дбуваються за участю елементарних частинок. Зам?сть ймов?рностей, як? ? д?йсними величинами, квантова механ?ка оперу? ампл?тудами ймов?рностей, як? ? комплексними величинами. При цьому зв’язок м?ж ймов?рн?стю P ? ?? ампл?тудою w простий — ймов?рн?сть ? квадратом ампл?туди ймов?рност?: $P=|\mathbf {w} |^{2}$. Щоб не обтяжувати читача математикою комплексних чисел, Фейнман користу?ться простим, але точним ?х аналогом — зобража? комплексн? числа стр?лками на аркуш? паперу або екран? (не сл?д плутати з? стр?лками д?аграм Фейнмана, як?, фактично, ? спрощеним двом?рним зображенням руху частинок в чотири-м?рному простор?-час?.). В?дтак операц?? додавання ? множення, описан? в правилах а) та б), зг?дно квантово? механ?ки сл?д застосовувати до ампл?туд ймов?рностей (стр?лок), а не до самих ймов?рностей. Чому саме таку “математику” сл?д застосовувати для опису процес?в на р?вн? елементарних частинок ? атом?в, залиша?ться ?нтригуючою загадкою. Однак з прагматично? точки зору ми повинн? прийняти той факт, що ця дивна арифметика, базована на ампл?тудах ймов?рностей, ? фундаментом для опису вс?х квантових явищ.

Таким чином, ймов?рн?сть реал?зац?? деяко? под??, у як?й зад?ян? два процеси з ампл?тудами ймов?рностей v ? w, може бути обчислена за одн??ю ?з формул:

$P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2},$

або

$P=|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.$

Додавання ампл?туд ймов?рностей як комплексних чисел.

Множення ампл?туд ймов?рностей як комплексних чисел.

Операц?? додавання ? множення комплексних чисел зображених стр?лками приведен? на малюнках. Сума знаходиться таким чином. Нехай початок друго? стр?лка буде в к?нц? першо?. ?х сумою ? третя стр?лка, початок яко? зб?га?ться з початком першо?, а к?нець — ?з к?нцем друго?. Добутком двох стр?лок v ? w, ? стр?лка, довжина яко? ? добутком довжин вих?дних стр?лок: $|\mathbf {v} |\cdot |\mathbf {w} |$, а напрямок знаходиться шляхом додавання кут?в, на як? повернут? вих?дн? стр?лки v ? w в?дносно деякого опорного напрямку.

Такий перех?д в?д ?мов?рностей до ампл?туд ?мов?рностей дещо ускладню? математику, однак не зм?ню? основного п?дходу. Але цих зм?н не зовс?м достатньо, оск?льки вони не враховують той факт, що фотони ? електрони можуть бути поляризован?, а отже ?хн? ор??нтац?? в простор? та час? також треба брати до уваги. Отже, ймов?рн?сть поширення фотона в?д точки A до В, Р(A до В), насправд? м?стить 16 комплексних чисел, або, що те саме, стр?лок - ампл?туд ?мов?рностей. У зв’язку ?з цим можлив? також деяк? незначн? зм?ни в розрахунку ?мов?рност? поглинання та/або ем?с?? фотона 'j', як?, однак, представляють ?нтерес т?льки для детального бухгалтерського обл?ку.

Спираючись на той факт, що електрон може бути поляризованим, сл?д в?дм?тити ще одну невелику проте важливу деталь, яка пов'язана з тим, що електрон ? ферм?оном ? п?дпорядкову?ться статистиц? Ферм?-Д?рака. Додаткове правило поляга? в тому, що якщо у нас ? ампл?туда ймов?рност? для заданого складного процесу, у якому зад?яно б?льше одного електрона, то, коли ми включа?мо (як ми завжди повинн?) додаткову д?аграму Фейнмана, у як?й ми просто м?ня?мо два електрони м?сцями, то ампл?туда ?мов?рност? зм?ню? св?й знак на протилежний. Як приклад можемо розглянути два електрони в початкових позиц?ях А ? В, як? згодом потрапляють в С ? D. Сумарна ампл?туда буде розраховуватися як "р?зниця", E(A до D) × E(B до C) ? E(A до C) × E(B до D), а не як сума, як це можна було б оч?кувати виходячи з нашого повсякденного досв?ду.

Пропагатори

Щоб розрахувати величини P(A до B) ? E (C до D), як? в?дпов?дають ампл?тудам трансляц?? фотона ? електрона в?дпов?дно, сл?д скористатись р?внянням Д?рака, яке опису? повед?нку ампл?туди ймов?рност? для електрона, ? р?внянням Кляйна—?ордона, яке опису? повед?нку ампл?туди ?мов?рност? для фотона. Розв’язки цих р?внянь називаються пропагаторами Фейнмана. Перех?д до позначень, як? зазвичай використовуються в стандартн?й л?тератур?, ? таким:

$P({\mbox{A to B}})\rightarrow D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E({\mbox{C to D}})\rightarrow S_{F}(x_{D}-x_{C})$

де скорочений символ $x_{A}$ познача? чотири д?йсн? величини як? задають положення точки A в простор? ? час?.

Перенормування енерг?? (маси)

Однопетлевий внесок до власно? енерг?? електрона.

Хоча проблема виникла ?сторично ? розвивалась протягом двадцяти рок?в, ми почнемо ?з зробленого припущення про ?снування трьох базових простих д?й. Правила 'гри' говорять, що якщо ми хочемо розрахувати ампл?туду ?мов?рност? трансляц?? електрона в?д точки A до B, ми мусимо врахувати ус? можлив? шляхи, якими це може статися. Зокрема ми повинн? врахувати випадок, коли електрон спочатку подорожу? до деяко? точки C, випром?ню? фотон який, згодом, перш н?ж потрапити в к?нцеву точку B, поглина? в деяк?й ?нш?й точц? D. Такий пром?жний процес випром?нення-поглинання в?ртуального фотона може статися дв?ч?, трич?, або б?льше раз?в. В результат? ми отрима?мо фрактальну картину, в як?й л?н?я при ретельному розгляд? "розпада?ться" на колекц?ю простих л?н?й, кожна з яких, якщо дивитися ще уважн?ше, теж склада?ться ?з простих л?н?й, ? так дал? до неск?нченност?.

Це дуже важка ситуац?я для реальних обчислень. Якщо б додавання таких процес?в не сутт?во вплинуло б на загальний результат, то н?чого страшного б не сталося. Однак сталася б?да - виявилось, що врахування таких процес?в приводить до неск?нченних значень ампл?туд ?мов?рностей. З часом ця проблема була "усунута" за допомогою техн?ки перенормування. Тим не менше, сам Фейнман залишилися незадоволеним таким способом втекти в?д проблеми, назвавши перенормування "Dippy process", що означа? "беззм?стовний процес".

Висновки

В рамках КЕД вдалося обчислити з високим ступенем точност? деяк? з властивостей електрон?в, так?, як аномальний магн?тний дипольний момент. Однак, як вказав Фейнман, в рамках КЕД не вдалося пояснити маси елементарних частинок таких як електрон. "Нема? теор??, яка адекватно поясню? ц? величини. Ми використову?мо ц? величини у вс?х наших теор?ях, але ми ?х не розум??мо - як? вони ?, або зв?дки вони беруться. Я вважаю, що з фундаментально? точки зору, це ? дуже ц?кава ? серйозна проблема."

Математика

З математично? точки зору, КЕД ? абелевою кал?бровочною теор??ю з групою симетр?? U(1). Кал?бровочне поле, яке переносить вза?мод?ю м?ж зарядженими полями з? сп?ном 1/2, ? електромагн?тним полем. Лагранж?ан КЕД для поля з? сп?ном 1/2, яке вза?мод?? з електромагн?тним полем, р?вний д?йсн?й частин? виразу

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

де

$\gamma ^{\mu }$ ? матрицями Д?рака;

$\psi$ ? ампл?тудою ?мов?рност? для б?сп?норного поля з? сп?ном 1/2 (тобто для електрон-позитронного поля);

${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$, ма? назву “пс?-бар”, ? ? добутком ерм?тово спряжено? хвильово? функц?? на матрицю Д?рака $\gamma ^{0}$;

$D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }\,\!$ ковар?антна пох?дна;

e константа вза?мод??, р?вна заряду б?сп?норного поля;

$A_{\mu }$ ? ковар?антним 4-потенц?алом електромагн?тного поля, що генеру?ться електричним зарядом;

$B_{\mu }$ ? зовн?шн?м електромагн?тним полем;

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\!$ ? тензором електромагн?тного поля.

Р?вняння руху

Для початку, п?дставивши вираз D в лагранж?ан, прийдемо до

${\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\,$

Дал?, ми можемо п?дставити цей лагранж?ан до р?вняння Ейлера-Лагранжа:

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,$

(2)

? знайти р?вняння руху для поля. Як результат, два вирази ?з цього р?вняння приймуть такий вигляд:

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right),\,$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })-m{\bar {\psi }}.\,$

П?дставляючи ?х у р?вняння Ейлера-Лагранжа ( 2) отриму?мо, що

$i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })+m{\bar {\psi }}=0\,$

або, ?накше, зд?йснивши комплексне спряження:

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi -m\psi =0.\,$

Переведення середнього члену до право? частини перетворю? друге р?вняння на

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi \,$

Л?ва частина ? р?внянням Д?рака, тод? як права опису? вза?мод?ю ?з електромагн?тним полем.

Ще одне важливе р?вняння можна знайти, п?дставивши лагранж?ан у ?нше р?вняння Ейлера-Лагранжа, цього разу для поля, A^μ:

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0\,.$

(3)

Два його вирази цього разу матимуть вигляд:

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),\,$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,.$

П?дставляючи ц? вирази назад до р?вняння Ейлера-Лагранжа (3), отрима?мо:

$\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,$

Тепер, якщо ми накладемо кал?брувальну умову Лоренца, зг?дно яко? дивергенц?я чотири-потенц?алу ма? бути р?вна нулю

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

отрима?мо вираз

$\Box A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,,$

який явля? собою хвильове р?вняння для чотири-потенц?алу, що зб?га?ться з класичним р?внянням Максвелла, записаним у кал?бруванн? Лоренца.

Картина вза?мод??

Ця теор?я може бути безпосередньо квантованою в наближенн? асимптотично? свободи бозон?в (тобто фотон?в та ?нших частинок з ц?лим сп?ном) та ферм?он?в (електрон?в, позитрон?в та ?нших частинок з нап?вц?лим сп?ном). Це дозволя? побудувати безл?ч асимптотичних стан?в, як? можуть бути використан? як початков? наближення при обчисленн? ампл?туд ймов?рностей для р?зних процес?в. Для того щоб зробити це, нам потр?бно обчислити оператор еволюц?? $U(t)$, що для заданого початкового стану $|i\rangle$, дасть к?нцевий стан $\langle f|$, таким чином, щоб отримати ?мов?рн?сть переходу

$M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .$

Ця техн?ка також в?дома як S-матриця. Оператор еволюц?? отриму?ться в картин? вза?мод??, де час еволюц?? зада?ться гам?льтон?аном вза?мод??, який р?вний ?нтегралу другого члена лагранж?ана (наведеного вище) по просторових координатах:

$V=e\int d^{3}x{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },$

так, що для оператора еволюц?? матимемо

$U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'V(t')\right].$

Цей оператор еволюц?? при обчисленнях сл?д розкладати в ряд за малим параметром, ? те що ми отрима?мо п?д час обчислень ма? вигляд ряду теор?? збурень за сталою тонко? структури (яка ? цим малим параметром). Цей ряд назива?ться рядом Дайсона.

Д?аграми Фейнмана

Незважаючи на концептуальну ясн?сть такого п?дходу КЕД, майже жоден з ранн?х п?дручник?в не сл?дував Фейнману у його поданн?. При виконанн? обчислень набагато легше працювати з Фур'? перетвореннями пропагатор?в. Квантова ф?зика оперу? здеб?льшого ?мпульсами частинок, а не ?х позиц?ями, ? досить зручно уявляти про частинки, що вони створюються або знищуються п?д час вза?мод??. За таких обставин д?аграми Фейнмана для р?зних частинок виглядають однаково, хоча л?н?? мають р?зн? тлумачення. Л?н?я електрона (суц?льна) познача? електрон ?з заданою енерг??ю та ?мпульсом, л?н?я фотона (хвиляста), у свою чергу, познача? фотон ?з заданою енерг??ю та ?мпульсом. Вершина представля? схему знищення одного електрона ? створення ?ншого разом з поглинанням або випром?ненням фотона, при цьому вс? частинки мають певн? (задан?) енерг?? та ?мпульси.

Зг?дно теореми В?ка для член?в ряду Дайсона, вс? елементи S-матриц? для квантово? електродинам?ки можуть бути обчислен? з використанням техн?ки базовано? на д?аграмах Фейнмана. У цьому випадку правила для малювання ? так?

До цих правил ми повинн? додати ще одне для замкнутих петель, яке м?стить ?нтегрування по ?мпульсах $\int d^{4}p/(2\pi )^{4}$, оск?льки внутр?шн? ("в?ртуальн?") частинки не мають н?яких обмежень на значення енерг?? та ?мпульсу, нав?ть тих, як? зазвичай потр?бно накладати з огляду на спец?альну теор?ю в?дносност?. Ц? д?аграми безпосередньо задають спос?б розрахунку ампл?туди ймов?рност? для заданого процесу. Для прикладу можемо розглянути пружне розс?яння електрона ? фотона. Д?аграми Фейнмана в цьому випадку матимуть вигляд:

Таким чином, ми можемо довол? просто сконструювати вираз для ампл?туди ймов?рност? цього процесу ? використати його при розрахунку S-матриц? в наближенн? першого порядку теор?? збурень:

$M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}\,',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}\,',\lambda ')^{*}{p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e} \over (p+k)^{2}-m_{e}^{2}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}\,',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e} \over (p-k')^{2}-m_{e}^{2}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}\,',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s)$

за допомогою яко? ми можемо розрахувати перер?з вза?мод?? в такому процес?.

Перенормован?сть

Здавалося б, що члени вищого порядку можуть бути прямо обчислен? для оператора еволюц??, але ц? члени зображуються д?аграмами, що м?стять так? прост? д?аграми

• 
  Однопетлевий внесок до функц?? поляризац?? вакууму $\Pi \,$
• 
  Однопетлевий внесок до функц?? власно? енерг?? електрона $\Sigma \,$
• 
  Однопетлевий внесок до функц?? вершини $\Gamma \,$

як?, будучи замкнутими контурами, приводять до розб?жних ?нтеграл?в, що не мають математичного сенсу. Щоб подолати ц? труднощ?, була розроблена так звана техн?ка перенормування, яка приводить к?нцев? результати розрахунк?в до дуже хорошо? узгодженост? ?з експериментом. Сл?д в?дзначити, що важливим критер??м теор??, який набув значення п?сля запровадження техн?ки перенормування, ? ск?нченн?сть числа розб?жних д?аграм. За таких умов теор?я назива?ться перенормованою. Це пов’язано ?з тим, що у цьому раз? для зд?йснення перенормування потр?бна ск?нченна к?льк?сть констант, ?, як насл?док, передбачувана ц?нн?сть теор?? залиша?ться недоторканою. КЕД ? перенормованою теор??ю, оск?льки у н?й присутн? лише три розб?жних д?аграми. Процедура перенормування дозволя? робити передбачення, як? знаходяться в дуже хорошому узгодженн? ?з експериментом, як це видно на приклад? г?ромагн?тного сп?вв?дношення для електрона.

Перенормован?сть стала важливим критер??м для квантово? теор?? поля на ?? житт?здатн?сть. Вс? теор??, як? описують фундаментальн? вза?мод??, кр?м грав?тац??, квантова ?нтерпретац?я яко? в даний час перебува? в стан? активного досл?дження, ? перенормованими.

Розб?жн?сть ряд?в КЕД

Фр?ман Дайсон показав, що рад?ус зб?жност? ряд?в КЕД за сталою вза?мод?? ? р?вним нулю. Його основний аргумент ?рунту?ться на тому, що негативне значення константи вза?мод?? ? екв?валентним негативному значенню стало? кулон?всько? вза?мод??. Тобто при зм?н? знаку константи вза?мод??, кулон?вська вза?мод?я також пом?ня? знак — однаков? за знаком заряди будуть притягатися, а протилежн? в?дштовхуватися. За таких обставин вакуум стане нестаб?льним — 'хмара' електрон?в попряму? до одного к?нця Всесв?ту, а 'хмара' позитрон?в до протилежного. Оск?льки теор?я ? нест?йкою до зм?ни знаку константи вза?мод?? при будь якому ?? абсолютному значенн?, ряди КЕД за сталою вза?мод?? ? розб?жними, однак при цьому вони ? асимптотичними.

Див. також

• Електрослабка вза?мод?я
• Квантова хромодинам?ка
• Електромагнетизм
• Електромагн?тний потенц?ал

Додаткова л?тература

• Ребенко О. Л. Основи сучасно? теор?? вза?мод?ючих квантованих пол?в. — К. : Наукова думка, 2007. — 539 с.
• Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М. : Наука, 1981. — 432 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая электродинамика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 4. — 720 с.
• Тирринг В. Принципы квантовой электродинамики = Principles of Quantum Electrodynamics. — М. : Высшая школа, 1964. — 228 с.
• Фейнман Р. Квантовая электродинамика = Quantum Electrodynamics. — М. : Мир, 1964. — 220 с.
• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества = QED: The Strange Theory of Light and Matter. — М. : Наука, 1988. — 144 с.

Посилання

• Квантова електродинам?ка [Арх?вовано 25 Жовтня 2020 у Wayback Machine.] //ЕСУ
• Песк?н M., Шродер Д. Вступний курс квантово? теор?? поля. — T.1 (переклад з англ?йсько?) [Арх?вовано 10 Вересня 2015 у Wayback Machine.]
• Квантовая электродинамика [Арх?вовано 13 Червня 2013 у Wayback Machine.] // Физическая энциклопедия, т. 2. - М., Сов. энцикл.1990, с. 317—318